Risolutori non lineari

I calcoli non lineari in generale producono un sistema di equazioni algebriche non lineari che devono essere risolte. La robustezza del solutore non lineare è una parte cruciale del processo di calcolo nell'ambito dell'analisi agli elementi finiti. Il metodo non lineare trasforma il problema non lineare in una sequenza di problemi lineari che vengono quindi risolti da un risolutore lineare. Sono disponibili sei metodi per risolvere il sistema algebrico di equazioni non lineare.

Newton-Raphson

Il metodo non lineare di Newton-Raphson è preferito nel caso di un lato destro continuo. In questo metodo, la matrice di rigidezza tangenziale viene calcolata in funzione dello stato di deformazione corrente e invertita in ogni ciclo di iterazione. Nella maggior parte dei casi, il metodo presenta una convergenza veloce (quadratica).

01 Visualizzazione di Newton-Raphson

Picard

In caso di discontinuità, il metodo di Picard può essere utilizzato come una scelta più robusta. Questo metodo è anche noto come metodo di iterazione del punto fisso o metodo delle secanti. Può essere considerato come un'approssimazione alle differenze finite del metodo di Newton. La differenza è considerata tra il ciclo di iterazione corrente e il ciclo di iterazione iniziale nella fase di carico corrente. Il metodo non converge rapidamente come il metodo di Newton' in generale, ma può essere più robusto per alcuni problemi non lineari.

02 Visualizzazione Picard

Newton-Raphson combinato con Picard

L'idea di questo metodo di combinazione è di riunire i vantaggi di entrambi i metodi. Per l'approssimazione iniziale viene utilizzato il metodo di Picard per evitare instabilità iniziali. Successivamente viene utilizzato il metodo veloce di Newton-Raphson. Insieme, è possibile ottenere un'approssimazione robusta e relativamente veloce.

Nelle impostazioni è possibile definire le proporzioni dei rispettivi metodi.

Newton-Raphson con matrice di rigidezza costante

Questa versione del metodo di Newton-Raphson può essere selezionata per i calcoli secondo l'analisi a grandi spostamenti. La matrice di rigidezza viene creata solo una volta nel primo step di iterazione e quindi utilizzata in tutti i cicli di calcolo successivi (quindi costante). Pertanto, il calcolo viene eseguito più velocemente ma non è stabile come i calcoli secondo il metodo di Newton-Raphson normale o modificato.

Per gradi di libertà inferiori, il metodo di Newton-Raphson tende ad essere più efficiente. Per piccole variazioni della pendenza nella funzione, il metodo di rigidezza costante di solito ha il vantaggio. Se la pendenza subisce cambiamenti drastici, tuttavia, di solito si consiglia Newton-Raphson.

Newton-Raphson modificato

Questo metodo viene utilizzato per eseguire l'analisi postcritica in cui è necessario superare un intervallo con instabilità. Se si affronta una instabilità e la matrice di rigidezza non può essere invertita, allora il programma utilizzerà la matrice di rigidezza del passo dell’ultima iterazione stabile. Il programma continua il calcolo utilizzando questa matrice fino a quando trova un intervallo stabile.

Rispetto al (normale) Newton-Raphson, il Newton-Raphson modificato tende a convergere più lentamente (lineare) con più iterazioni, ma computazionalmente poco costose ed è più robusto per non linearità estreme (come il cracking fragile) dove Newton-Raphson potrebbe fallire.

03 Visualizzazione modificata di Newton-Raphson

Rilassamento dinamico

Il metodo finale è adatto per i calcoli secondo l'analisi a grandi spostamenti e per la risoluzione di problemi relativi all'analisi postcritica. In questo approccio, viene introdotto un parametro di tempo artificiale. Tenendo conto dell'inerzia e dello smorzamento, la rottura può essere gestita come un problema dinamico. Questo approccio utilizza il metodo di integrazione temporale esplicita; la matrice di rigidezza non è invertita. Nessuna parte del modello può avere un peso specifico pari a zero durante il calcolo con rilassamento dinamico. Questo metodo include lo smorzamento di Rayleigh che può essere definito mediante le costanti α e β secondo la seguente equazione con le derivate temporali: